mateforum.ro

Determinati functiile monotone \( f : (0,\infty) \rightarrow R \) cu proprietatea ca \( f(\frac{2x}{1+x})=f(x) \) \( \forall x \in{(0,\infty)} \).

Mihai Monea

Pentru \( x_0y_0>1,x_0> y_0 \) definim \( x_{n+1}=\frac{2x_n}{1+x_n} \) care este strict descrescatoar si tinde la 1.

Deoarece f este monotona rezulta ca \( f(x_0)=f(y_0) \).

Analog f este constanta pe \( (0,1) \).

Asadar \( f(x)=\left{\begin{array}{cc}a&&\mbox{pentru}&&x\in(0,1)\\b&&\mbox{daca}&&x=1\\c&&\mbox{pentru}&&x\in(1,\infty)\end{array} \) cu \( a\le b\le c \) daca f este crescatoare si \( a\ge b\ge c \) daca f e descrescatoare.