mateforum.ro

Se considera M o multime finita de puncte din plan si notam cu D multimea dreptelor care trec prin cel putin doua puncte din multimea M. Sa se arate ca daca exista o functie \( f:M\longrightarrow \mathbb{R} \) neidentic nula cu proprietatea ca \( \sum_{X\in d}f(X)=0,(\forall)d\in D \), atunci toate punctele multimii M sunt pe o dreapta.

Indicatie:

Pentru orice punct A, daca notam \( n_A \) numarul dreptelor care trec prin A si \( s=\sum_{X\in M} f(X) \) avem \( n_Af(A)+s-f(A)=0 \).

Sau: daca însumam toate egalitatile \( \left(\sum_{X\in d}f(X)\right)^2=0, \) obtinem imediat o contradictie.

Este interesant ca aceasta problema conduce la o solutie simpla a unui rezultat nu atat de banal cum poate parea la prima vedere: \( n \) puncte în plan, nu toate coliniare, determina cel putin \( n \) drepte.

Sa explic: presupunand punctele nu toate coliniare si notand cu \( P_i(i=1,\ldots,n) \) punctele si cu \( x_i \) valorile functiei corespunzatoare acestora, cand calculam suma expresiilor \( \left(\sum_{X\in d}f(X)\right)^2, \) , fiecare \( x_i^2 \) apare de cel putin 2 ori (pentru ca prin fiecare punct trec cel putin 2 drepte) si fiecare termen \( 2x_ix_j \), cu \( i\ne j \) apare exact o data (corespunzator dreptei care trece prin punctele \( P_i,P_j \)). Astfel, suma, care este zero, este cel putin egala cu \( (x_1+\ldots+x_n)^2+x_1^2+\ldots+x_n^2 \), ceea ce e o contradictie.

Daca numarul de drepte determinate este mai mic decat numarul de puncte, atunci relatiile \( \sum_{X\in d}f(X)=0, \) formeaza un sistem omogen, in care necunoscutele sunt mai multe decat ecuatiile, asadar exista o solutie nenula a acestuia