mateforum.ro

Fie \( a,b, c\in \mathbb{N}^* \) astfel incat \( b|a^2, c|b^2 \) si \( a|c^2 \). Sa se arate ca \( abc|(a+b+c)^7 \).

Emil Ciolan

\( (a+b+c)^7 \) este o suma de monoame de forma \( a^ib^jc^k \) cu \( i+j+k=7 \)

De aici rezulta ca cel putin unul dintre ex ponenti este \( \ge 3 \)

1) Daca \( i=3 \), atunci \( a | a^3 \) \( b|a^3 \) si deoarece unul dintre j sau k este \( \ge 2 \) rezulta ca \( c| a^ib^jc^k \)

2) Daca \( i\ge 4 \) atunci \( a|a^i \) , \( b|a^i \) si \( c|(a^2)^2a^{i-4} \)

Asadar in orice caz \( abc |a^ib^jc^k \)