mateforum.ro

Sa se arate ca pentru oricare \( x>0 \) si oricare \( n \in \mathbb{N}^* \) are loc inegalitatea \( \frac{1+x^n}{1+x} \ge \frac{n+1}{2n} \).

Marian Cucoanes

Se analizeaza cazurile:
1) \( x\ge 1 \)
Eliminand numitorii obtinem \( 2nx^n-(n+1)x+n-1\ge 0 \), evident.

2) \( x< 1 \)
Notand \( x=\frac{1}{y} \) si eliminand numitorii obtinem \( 2ny^{n+1}+(n-1)(y-1)-2\ge 0 \), evident deoarece \( y> 1 \).

Am gresit la calcule

Voi remedia in scurt timp.


Solutia 2

Folosind AM-GM pentru n numere

\( 2nx^n+n-1=2nx^n\underbrace{+1+1+...+1}_{n-1\mbox{ termeni}}\ge n\sqrt[n]{2nx^n\cdot 1\cdot 1...\cdot 1}\ge(n+1)x \), deoarece \( 2n\ge(1+\frac{1}{n})^n \) (exercitiu).

Cazul \( x\geq1 \) e trivial cum a zis si domnul Mainea.
Pt. \( x<1 \), notam \( x=\frac{1}{y} \) si aducand la numitor comun obtinem ca relatia din enunt e echivalenta cu:
\( 2n\geq x^{n-1}(n+1-x(n-1)) \), dar din \( m_g\leq m_a \) obtinem ca:
\( x^{n-1}(n+1-x(n-1))\leq (\frac{n+1}{n})^n<e<2n \forall, n\geq2 \).
Cazul \( n=1 \) e deasemenea trivial si se trateaza separat, caci e singurul care da egalitate.