mateforum.ro

Sa se calculeze :
\( \lim_{x \to \infty} \)\( \frac{ln(1+a^x)}{ln(1+b^x) \) , a, b \( \epsilon \) (0, \( \infty \)).
As dori sa stiu daca se poate aplica limita \( \lim_{x \to \infty} \)\( \frac{ln(1+u(x))}{u(x)) \) =0.

doar daca a si b sunt in \( (0,1) \)

Daca \( a,b\in (0,1) \) atunci
\( \frac{\ln(1+a^x)}{\ln(1+b^x)}=\frac{\ln(1+a^x)}{a^x}\cdot\frac{b^x}{{\ln(1+b^x)}}\cdot\frac{a^x}{b^x} \)
Deci \( \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+a^x)}{\ln(1+b^x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{a^x}{b^x} \)
Daca \( a>b \) limita este \( \infty \)
Daca \( a=b \) limita este \( 1 \)
Daca \( a<b \) limita este \( 0 \)

In cazul in care unul dintre a ,b este in (0,1) si celalalt in \( (1,\infty) \),lucrurile sunt clare .
Singurul caz neanalizat este cand \( a,b\in (1,\infty) \) ,iar aici avem \( \lim_{x\to\infty} \frac{ln(1+a^x)}{ln(1+b^x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{xlna+ln(1+\frac{1}{a^x})}{xlnb+ln(1+\frac{1}{b^x})}=\frac{lna}{lnb} \) deoarece \( \lim_{x\to\infty} ln(1+\frac{1}{t^x})=0 ,\forall t>1 \)

Va multumesc mult pentru rezolvare.