mateforum.ro

Fie \( a, b, c, d \) numere complexe de acelasi modul astfel incat \( a+b+c=d \). Sa se arate ca unul din numerele \( a, b, c \) este egal cu \( d \).

Relatia clasica \( \left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|=\left|a+b+c\right| \) are si o interpretare geometrica. Consideram un reper \( XOY \) si punctele \( A(a),B(b),C(c) \) unde din \( \left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|=r \) avem ca triunghiul \( ABC \) este inscris unui cerc de raza \( r \) si centru \( O \) al reperului. Avem ca ortocentrul \( H \) al triunghiului are afixul \( a+b+c \). Relatia din ipoteza devine \( OA=OB=OC=OH \) de unde tragem concluzia ca \( H \in \left{ A,B,C\right} \), adica triunghiul \( ABC \) este dreptunghic, adica doua dintre varfurile triunghiului sunt diametral opuse de unde \( (a+b)(b+c)(c+a)=0 \).

Solutia 2:

Notam \( |a|=|b|=|c|=|d|=r \). Daca \( r=0 \) atunci \( a=b=c=d=0 \).

Presupunem deci \( r>0 \). Conjugand relatia \( a+b+c=d \) se obtine ca \( \overline a+\overline b+\overline c=\overline d \)

\( \Longleftrightarrow\ \frac{r^2}{a}+\frac{r^2}{b}+\frac{r^2}{c}=\frac{r^2}{d}\ \Longleftrightarrow\ \frac 1a+\frac 1b+\frac 1c=\frac 1d=\frac 1{a+b+c} \)

\( \Longleftrightarrow\ (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=0\ \Longleftrightarrow\ (a+b)(b+c)(c+a)=0 \)

Deci \( a+b=0 \) sau \( b+c=0 \) sau \( c+a=0 \) de unde rezulta respectiv \( c=d \) sau \( a=d \) sau \( b=d \).

Solutia 3:

\( (a-d)(b-d)(c-d)=(ab-ad-bd+d^2)(c-d)=abc-acd-bcd+cd^2-abd+ad^2+bd^2-d^3= \)
\( abc-d(ab+bc+ca)+d^2(a+b+c)-d^3=abc-d(ab+bc+ca)+d^3-d^3=abc-d(ab+bc+ca) \) (1)
Fie \( r\in\mathbb{R} \) astfel incat \( |a|=|b|=c|=|d|=r \). Din \( a+b+c=d\Right \frac{r^2}{a}+\frac{r^2}{b}+\frac{r^2}{c}=\frac{r^2}{d}\Right \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d}\Right \)
\( d(ab+bc+ca)=abc \) (2)
Din relatiile (1) si (2) se deduce ca \( (a-d)(b-d)(c-d)=0 \), deci unul din numerele \( a,b,c \) este egal cu \( d \).