mateforum.ro

Sa se determine functiile \( f:\mathbb{N^{\ast}}\rightarrow\mathbb{N^{\ast}} \) cu proprietatea ca \( x \cdot 3^{f(y)} \) divide \( f(x)\cdot 3^y \) oricare ar fi \( x,y\in\mathbb{N^{\ast}} \)

G.M.

Pentru \( x=y=1 \) avem \( 3^{f(1)}/f(1)\cdot 3
\) de unde rezulta ca \( f(1)=1 \)
Pentru \( y=1 \) avem \( 3x/3f(x)\Longrightarrow f(x)\ge x \)
Pentru \( x=1 \) avem \( 3^{f(y)}/3^y\Longrightarrow f(y)\le y \)
Din ultimele doua relatii rezulta ca \( f(x)=x,\forall x\in\mathbb{N}^* \)