mateforum.ro

Cum s-ar demonstra următoarea afirmaţie:

"Într-un inel comutativ finit, orice element neinversabil (mai puţin 0, evident) este divizor al lui zero"


Stiu sigur că e adevărată, dar n-am gasit demonstraţia nicăieri

Pai daca poti demonstra ca un element este inversabil daca si numai daca nu e divizor al lui zero , atunci rezulta si propozitia ta.

Asta nu e greu de aratat.Daca un element e inversabil atunci e clar ca nu poate fi divizor al lui zero.Invers, daca plecam cu un element \( a \in A \) care nu e divizor al lui zero atunci functia \( x \to ax \) este injectiva .Cum A e finit rezulta ca e surjectiva, deci exista \( b \) a.i. \( ab=1 \), deci a e inversabil.

De unde rezulta ca functia ta e injectiva?

\( ax=ay \) echivalent cu \( a(x-y)=0 \), cum a nu e divizor al lui zero rezulta x-y=0.

Excelent, mersi mult. Fainuta rezolvarea,

Inseamna ca se poate renunta la conditia de comutativitate.

Eu am folosit comutativitatea in demonstratie , doar ca nu am mai zis nimic. \( ab=ba=1 \) deci a e inversabil cu b inversul sau.Daca inelul nu e comutativ, atunci nu mai stim sigur daca b e inversul lui a si la stanga.

Dar in acest caz se poate renunta la comutativitate.Daca iei si functia \( x \to xa \) , atunci obtinem ca exista un c a.i. ca=1. si din ab=1 si ca=1 obtinem b=c.deci a e inversabil.

Sa va distrati putin:
Fie \( R \) un inel si \( a\in R \). Presupunem ca \( a \) are cel putin 2 inversi la dreapta. Demonstrati ca are o infinitate de inversi la dreapta.