Problema shortlist 2003(de medie)

[Laurentiu Tucaa]

Fie \( f,g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} \) continue a.i. f nu isi schimba semnul pe domeniul de definitie iar g este strict monotona si derivabila.Sa se arate ca exista\( c\in(0,1) \)a.i.\( (1+g(0))\int_0^1 f(x)g(x)dx=2g(c)\int_0^1 f(x)dx \).

Tudorel Lupu

[turcas]

Sa presupunem ca \( f \) este pozitiva si atunci, dintr-o teorema de medie (se gaseste pe wikipedia, cred ca e forma generalizata a celei care se preda la clasa), obtinem ca exista un punct \( \varepsilon \in (0;1) \) astfel incat:
\( \int\limits_{0}^{1} f(t) g(t) dt= g(\varepsilon) \int\limits_{0}^{1} f(t) dt \).

Acum, ne uitam dupa o functie la care sa-i aplicam Rolle (cam asta am observat ca e ideea).
Sa o definim \( F:[0,\varepsilon] \to \mathbb{R} \), cu legea:

\( F(x)= (g(x)-g(0)) \left[\int\limits_{0}^{1}f(t) g(t) dt - g(x) \int\limits_{0}^{1}f(t)dt \right]. \).

Aceasta functie indeplineste conditiile Teoremei lui Rolle, deci exista \( c \in [0;\varepsilon] \) astfel incat \( F^{\prime} (c)=0 \).

Adica \( g^{\prime}(c) \left(\int\limits_{0}^{1}f(t) g(t) dt - g(c) \int\limits_{0}^{1}f(t)dt \right) - ( g(c)-g(0))g^{\prime}(c) \int_{0}^{1} f(t)dt =0 \) si \( g^{\prime}(x) \neq 0 \) oricare ar fi \( x \in (0,1) \)

Edit: Scuze, nu am fost atent Solutia nu e buna pentru functia asta (greseala de calcul). Incerc sa revin cu alta