Doua matrice comuta, atunci una este polinom de cealalta?
Posted: Wed Nov 07, 2007 1:07 am
Sa se determine cel mai mare numar natural \( n\geq 2 \) cu proprietatea ca
daca \( A\in M_{n}(\mathbb{C}) \), \( A\neq\lambda I_{n} \), pentru orice \( \lambda\in\mathbb{C} \), atunci pentru \( B\in M_{n}(\mathbb{C}) \) urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
i) \( AB=BA \);
ii) exista \( a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}\in\mathbb{C} \) astfel incat
\( B=a_{0}I_{n}+a_{1}A+\ldots +a_{n-1}A^{n-1} \). (D. Busneag - Shortlist RMO 2006 si Titeica 2006)
daca \( A\in M_{n}(\mathbb{C}) \), \( A\neq\lambda I_{n} \), pentru orice \( \lambda\in\mathbb{C} \), atunci pentru \( B\in M_{n}(\mathbb{C}) \) urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
i) \( AB=BA \);
ii) exista \( a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}\in\mathbb{C} \) astfel incat
\( B=a_{0}I_{n}+a_{1}A+\ldots +a_{n-1}A^{n-1} \). (D. Busneag - Shortlist RMO 2006 si Titeica 2006)