mateforum.ro

1)Se dă ecuaţia x^2 –mx+m+1=0,m € R,de rădăcini x1,x2.Să se formeze ecuaţia în y ale cărei rădăcini y1,y2 sunt date de expresia:

1) y1=1/x1, y2=1/x2;
2) y1=x1+2x2, y2=x2+2x1 ;
3) y1=x1/1+x1 , y2=x2/1+x2 ;

PS:O să folosesc Latex când o să mai postez vre-un exerţiţiu, raspund la vre-un exerciţiu,dar acuma am nevoIe de un exemplu ceva, să văd cum se face acest timp de exerţiţiu,astept să ma lămuriţi, exerciţiu are vreo 8 puncte v-am scris trei,dar vreau doar un exemplu să vad cum se rezolvă,vă mulţumesc.

O sa o rezolv pentru punctul 1), pentru celelalte procedandu-se similar.

Avem ecuatia \( \normal\ x^2-mx+m+1=0 \) cu radacinile \( \normal\ x_{1}, \ x_{2} \). Putem sa calculam suma radacinilor si produsul lor din relatiile lui Viete si avem : \( \normal\ x_{1}+\ x_{2}=m \) si \( \normal\ x_{1}\ x_{2}=m+1 \). Mai stim ca o ecuatie de gradul al doilea se mai poate scrie ca \( x^2-Sx+P=0 \) unde S este suma radacinilor si P produsul acestora. Calculam deci : \( \normal\ y_{1}+\ y_{2} si \ y_{1}\ y_{2} \). Pentru punctul 1 gasim : \( \normal\ y_{1}+\ y_{2}=\frac{\ x_{1}+\ x_{2}}{\ x_{1}\ x_{2}} si \ y_{1}\ y_{2}=\frac {1}{\ x_{1}\ x_{2}} \). Inlocuind cu rezultatele de mai sus gasim : \( \normal\ y_{1}+\ y_{2}=\frac {m}{m+1} si \ y_{1}\ y_{2}=\frac {1}{m+1} \). Obtinem astfel ecuatia in y de forma : \( \normal\ y^2-\frac {m}{m+1}y+\frac {1}{m+1}=0 \). Punem conditia ca m sa fie diferit de \( \normal\ -1 \) deci putem inmulti cu m+1 si obtinem : \( \normal\ y^2-m+1=0 \). Exercitiu rezolvat. Pentru celelalte cazuri cum am spus, se procedeaza similar.