mateforum.ro

Fie triunghiul \( ABC \) si punctul \( D\in (BC) \). Bisectoarele unghiurilor \( ADB \) şi \( ADC \) intersectează laturile \( AB \) respectiv \( AC \) în punctele \( E \) respectiv \( F \).
1. Să se arate că \( \frac{EB}{EA}+\frac{FC}{FA}=\frac{BC}{AD} \).
2. Dacă \( D \) este piciorul înălţimii din vârful \( A \) şi \( \frac{EB}{EA}\cdot \frac{FC}{FA}=1 \) să se arate că triunghiul \( ABC \) este dreptunghic.
Nicolae Papacu, Slobozia

1. \( DE \) este bisectoare deci din teorema bisectoarei avem : \( \frac{EB}{EA}=\frac{BD}{AD} \). Analog \( DF \) bisectoare deci \( \frac{FC}{FA}=\frac{DC}{AD} \). Prin adunare obtinem : \( \frac{EB}{EA}+\frac{FC}{FA}=\frac{BD}{AD}+\frac{DC}{AD}=\frac{BC}{AD} \) QED.

2. Din \( \frac{EB}{EA}\cdot\frac{FC}{FA}=1 \) si teorema bisectoarei obtinem : \( \frac{EB}{EA}\cdot\frac{FC}{FA}=\frac{BD}{AD}\cdot\frac{DC}{AD}=\frac{BD\cdot DC}{AD^2}=1 \). Deci avem : \( BD\cdot DC=AD^2 \) si din reciproca teoremei inaltimii in triunghiul dreptunghic rezulta concluzia.