mateforum.ro

Sa se arate ca daca patru numere complexe \( a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d \) , nenule si distincte doua cate doua , verifica egalitatile

\( a+b+c+d=a^3+b^3+c^3+d^3=0 \) , atunci ele sunt afixele varfurilor unui paralelogram (eventual degenerat) cu

centrul de simetrie in originea planului .

Marcel Tena

Folosind relatiile lui Newton :

\( a^3+b^3+c^3+d^3-(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a+b+c+d)-(abc+abd+bcd+acd)3=0 \)

de unde \( abc+abd+bcd+acd=0 \) de unde

\( ab(c+d)+cd(a+b)=0 \) sau \( (ab-cd)(a+b)=0 \)

si la fel \( (ac-bd)(a+c)=0 \)

Presupunand ca \( a+b\neq 0 \) si \( a+c\neq 0 \) atunci \( \frac{b}{c}=\frac{c}{b} \) deci \( b+c=0 \)


O alta justificare ar fi ca \( a,b,c,d \) sunt radacinile ecuatiei

\( X^4+\alpha X^2+\beta=0 \) care are radacinile opuse doua cate doua.