mateforum.ro

Sa se arate ca pentru orice operator \( x\in B(\mathbb{H}) \) are loc

\( Ker(x^{*})=Ran(x)^{ \perp } \), unde \( x^{*} \) este adjunctul operatorului \( x \).

Fie \( a\in ker(x^*) \), atunci \( (x^*a, u)=0, \forall u\in H \), de unde\( (a, xu)=0 \), deci \( a\in Ran(x)^{\perp} \).

Reciproc, fie \( a\in Ran(x)^{\perp} \), atunci \( (a, xu)=0, \forall u\in H \), deci\( (x^*a,u)=0 \forall u\in H \) (de unde e gata, sau...) luam \( u=x^*a \) si rezulta \( ||x^*a||=0 \), deci \( a\in Ker(x^*) \).