mateforum.ro

Fie \( m, x, y,z \ge 0 \) cu proprietatea ca \( x+y+z=1 \). Sa se demonstreze ca:
\( \frac{1}{1+m^2x^2}+\frac{1}{1+m^2y^2}+\frac{1}{1+m^2z^2}\ge \frac{6-m}{2} \).
Moldova

Consideram functia \( f\ :\ [0\ ,\ \infty)\to (0\ ,\ 1] \) , \( f(a)=\frac 1{1+m^2a^2} \) , care este convexa si aplicam inegalitatea lui Jensen :

\( \frac{f(x)+f(y)+f(z)}3\ \ge\ f\(\frac{x+y+z}{3}\)\ \Longleftrightarrow\ \sum\ \frac{1}{1+m^2x^2}\ \ge\ \frac{3}{1+m^2\(\frac{x+y+z}{3}\)^2}=\frac{27}{9+m^2} \) , intrucat \( x+y+z=1 \) .

Deci, ramane sa aratam numai ca : \( \frac{27}{9+m^2}\ \ge\ \frac{6-m}{2} \) . Pentru \( m\ge 6 \) este evident . Altfel, ultima inegalitate devine :

\( 54\ \ge\ (6-m)(9+m^2)\ \Longleftrightarrow\ m^3+9m\ \ge\ 6m^2\stackrel{\small m\ge 0}{\ \Longleftrightarrow\ } (m-3)^2\ \ge\ 0 \) , ceea ce este adevarat .

Egalitatea are loc pentru \( m=3 \) si \( x=y=z=\frac 13 \) .

O solutie mai accesibila pentru clasa a VIII-a ar fi urmatoarea:
Inmultind cu \( -1 \) si adunand \( 3 \), inegalitatea este echivalenta cu: \( \sum\frac{m^2x^2}{1+m^2x^2}\le\frac{m}{2}|:m\Leftrightarrow \sum\frac{mx^2}{1+m^2x^2}\le \frac{1}{2} \).
Dar \( \sum\frac{mx^2}{1+m^2x^2}\le \sum\frac{mx^2}{2mx}=\sum\frac{x}{2}=\frac{1}{2} \), ceea ce incheie demonstratia.
Egalitatea are loc pentru \( mx=my=mz=1 \), deci cand \( m=3 \) si \( x=y=z=\frac{1}{3} \).