mateforum.ro

Fie \( \triangle ABC \) cu circumcentru \( O \) . Notam punctele \( M\in AB \) si \( N\in AC \)

pentru care \( AM=MC \) si \( AN=NB \) . Sa se arate ca \( MN\perp OA \) .

Va rog sa ma corectati daca gresesc : cred ca lipseste ceva din ipoteza deoarece din ipoteza rezulta numai ca M si N sunt intersectiile mediatoarelor laturilor AC si AB cu laturile opuse AB si AC.

Este corecta problema domnului Nicula. Notam cu M' - proiectia lui M pe [AC] si cu
N' - proiectia lui N pe [AB]. Cum triunghiul AMC este isoscel, iar [MM'] este inaltimea corespunzatoare lui M in acest triunghi inseamna ca MM'este mediatoarea segmentului [AB] si este deci si perpendiculara pe AN. Analog NN' ese mediatoarea [AC] si deci perpendiculara pe AM. Inseamna [MM'], [NN'] sunt inaltimi in triunghiul AMN, si deci intersectia lor va determina si ortocentrul triunghiului. Dar MM' si NN" sunt mediatoarele segmentelor [AB] si [AC] si deci interesectia lor va determina punctul O. Astfel din toate consideratiile inseamna ca O este ortocentul triunghiului AMN si deci AO si MN sunt perpendiculare.

Retrag observatiile de mai sus deoarece enuntul problemei a fost corectat.