mateforum.ro

Consideram \( \Omega \) o submultime deschisa in \( \mathbb{R}^{n} \) si \( f: \Omega\to\mathbb{R}^{n} \) o aplicatie Lipschitziana pe submultimile compacte din \( \Omega \), i.e. pentru orice compact \( K \) din \( \Omega \), exista \( M>0 \) astfel incat \( | f(x)-f(y) | \leq M |x-y|, \forall x, y\in K \).

Sa se arate ca pentru orice multime \( S \) din \( \Omega \) de masura nula avem ca \( f(S) \) are de asemenea de masura nula.

Mai intai sa spunem ca daca o multime e masurabila Lebesgue si e si compacta, atunci este masurabila Jordan. Apoi se foloseste faptul ca fiind data o functie f a-lipschitziana de la \( R^n \to R^n \), atunci pt. orice multime marginita A din \( R^n \) masura (Jordan) exterioara a lui f(A) este \( \leq \) decat \( a^n\cdot \)(masura exterioara a lui A).
Oare inegalitatea e valabila si pt multimi masurabile L? Sau e necesara reducerea la masurabilitate Jordan?