mateforum.ro

Fie M un modul finit generat peste un inel noetherian R.
Sa se demonstreze ca exista o filtrare \( 0=M_0\subseteq M_1\subseteq\ldots\subseteq M_n=M \) asa ca pentru toti i pentru care are sens, \( M_{i+1}/M_i \) are structura naturala de \( R/P_i \)-modul fara torsiune pentru un \( P_i \) din \( Ass M \). In plus, \( M_{i+1}/M_i \) este submodul al unui \( R/P_i \) modul liber.

Una din definitiile posibile pentru \( Ass M \) este: \( \{P\in Spec R| P=(0:x)\mbox{ pentru un }x\in M\} \).

Un corolar al acestei propozitii este:
Daca \( f:R\to S \) este un morfism plat de inele noetheriene, iar \( M \) este un R-modul finit generat, atunci:
\( Ass_S(M\otimes_RS)=\bigcup_{P\in Ass_RM} Ass_S(S/P) \)
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Problema aceasta este destul de diferita de teorema ceva mai cunoscuta:
M admite o filtrare in care caturile succesive sunt izomorfe cu R-module de forma R/P cu \( P\in Spec R \), nu neaparat toate din Ass M.

Submodulul nul al lui \( M \) are o descompunere primara \( 0=\bigcap_{i=1}^tN_i \). Fie \( p_i,\ i=\overline{1,t} \) idealele prime asociate submodulelor primare \( N_i \) respectiv. O sa facem inductie dupa \( t \).

Las la sfarsit pasul initial. Acum sa presupunem ca \( t\ge 2 \), si ca am demonstrat afirmatia in cazul in care sunt mai putin de \( t \) componente in descompunerea primara a lui \( 0 \). Unul din submodulele care apar in filtrare o sa fie chiar \( N_t \). Deasupra lui \( N_t \) continuam filtrarea cu cea data de ipoteza de inductie pentru modulul \( M/N_t \) (in care submodulul nul e primar, cu prim asociat \( p_t \)). In \( N_t \), pe de alta parte, submodulele \( N_i\cap N_t,\ i=\overline{1,t-1} \) dau o descompunere primara a lui \( 0 \), cu ideale prime asociate \( p_i,\ i=\overline{1,t-1} \). Gasim deci, din ipoteza de inductie, o filtrare a lui \( N_t \) cu proprietatile dorite. Combinam cele doua filtrari si gata.

A ramas cazul in care \( 0 \) insusi e primar, cu prim asociat \( p \), sa zicem. Luam atunci \( M_1 \) sa fie chiar multimea elementelor anihilate de \( p \). E fara torsiune ca \( R/p \)-modul pentru ca divizorii lui zero din inel relativ la modulul \( M \) sunt exact elementele din \( p \); asta inseamna ca anihilatorul fiecarui element (nenul) din \( M_1 \) e exact \( p \). Faptul ca \( M_1 \) e \( p \)-primar in \( M \) se verifica imediat (se foloseste doar definitia), si se repeta procedeul cu \( M/M_1 \) in loc de \( M \). O sa se termine dupa numar finit de pasi, desigur.


Niste observatii:

(1) In paragraful 2 am folosit urmatorul fapt: daca submodulul \( N \) al \( R \)-modulului finit generat \( M \) e \( p \)-primar, atunci pentru orice submodul \( L\le M,\ N\cap L \) e \( p \)-primar in \( L \).

(2) Treaba cu scufundarea in module libere are loc in conditii mai generale; adica pare un pic in plus aici . Un modul finit generat si fara torsiune peste un domeniu de integritate se poate scufunda intr-un modul liber de acelasi rang (prin rangul unui modul fara torsiune inteleg numarul maxim de elemente liniar independente, sau, echivalent, dimensiunea peste corpul de fractii al domeniului dupa ce fac produs tensorial peste domeniu cu acest corp de fractii).

Ma gandeam eu ca solutia mea e cam prea complicata. Probabil fiindca eu nu folosesc descompunere primara pentru module. Dar inainte de asta, partea cu scufundatul intr-un modul liber am luat-o ca pe un hint ca caturile succesive au un singur prim asociat.

Pasii solutiei mele erau:
1. Pentru un element maximal p din AssM, fie \( N=\bigcup_kAnn_Mp^k \).
Submodulele din reuniunea de mai sus formeaza un lant ascendent, deci stationar si se poate arata ca p e singurul prim asociat in caturile succesive, deci si singurul prim asociat caturilor respective.
2. Se poate arata ca Ass(M/N) e continut in AssM si nu contine p i.e. este exact \( Ass M\setminus \{p\} \). Acum rezultatul se demonstreaza prin inductie.