mateforum.ro

Ce sunt numerele transcendente?

Un numar \( a \) se numeste transcendent daca nu exista nici un polinom din \( Q[X] \) care sa-l aiba pe \( a \) ca radacina.
Celelalte numere se numesc algebrice. (adica pentru care exista macar un polinom cu coeficienti rationali care sa il aiba ca radacina).
Spre exemplu, \( \sqrt{2} \) e algebric, fiind radacina lui \( X^2-2 \)
\( \pi \) si \( e \) sunt transcendente.
Evident, orice rational e algebric.
Demonstratia faptului ca exista numere transcendete (considerand ca nu stim ca \( \pi \) si \( e \) sunt transcendete) e simpluta.
Consideram multimile \( P_n \) ca fiind radacinile tuturor polinoamelor de grad n, din Q[X]. Evident, multimea polinoamelor de grad n din Q[X] e numarabila, fiecare polinom are cel mult n radacini, deci fiecare \( P_n \) e numarabila.
Multimea numerelor algebrice este \( \bigcup_{n=1}^{\infty} P_n \), care ramane numarabila.
Deci numerele algebrice sunt numarabile. Insa R e de puterea continuului, deci raman "foarte multe" numere care nu sunt algebrice. Cele transcendente.

Ca sa continui un pic postul lui Alin, intr-adevar sunt "enorm de multe" numere transcendente despre care noi nu stim mare lucru, din pacate. De exemplu, s-a demonstrat ca \( e, \pi \) sunt numere transcendente, iar demonstratia nu este chiar floare la ureche, ca sa ma exprim asa. In ceea ce priveste transcendenta lui \( \gamma \), asa numita constanta Euler-Mascheroni, povestea este cu mult mai complicata. Nu s-a demonstrat nici macar ca este numar irational, desi s-ar banui ca asa este. Ce sa mai vorbim despre transcendenta. Asta arata cat de putina matematica stim noi, de fapt.