mateforum.ro

Demonstrati ca exista doua numere irationale \( a,b \) astfel ca \( a^b \) sa fie rational.

Consideram \( {\sqrt{2}}^{\sqrt{2} \). Acest numar este sau rational sau irational. Daca este rational problema este demonstrata, pentru ca luam \( a=\sqrt{2} \) si \( b=\sqrt{2} \). Daca este irational vom lua \( a={\sqrt{2}}^{\sqrt{2} \) si \( b=\sqrt{2} \).

Dar tu ce crezi de fapt despre \( {\sqrt{2}}^{\sqrt{2} \): este rational sau irational?

De fapt, chiar transcendent, cf. articolului de aici. Insa pentru partea ca este irational, poate ca exista vreo metoda mai elementara în acest caz.
O alta idee ar fi se ne uitam la, e.g., \( 2^{\log_29} = 9 \), de unde \( (\sqrt{2})^{\log_29} = 3 \). Dar se observa usor ca \( \log_29 \) este irational.

PS. Bineînteles ca solutia din postul de mai sus este cea indicata pt. clasa a VII-a.