mateforum.ro

Un articol foarte elementar despre sisteme Peano, numerele naturale, daca 1+1 = 2 este: o definitie, o notatie, o axioma sau o teorema :) gasiti aici.

http://fmi.unibuc.ro/ro/pdf/2007/catedr ... _Peano.pdf

Chiar ce se este 1 + 1 = 2? Ca nu mai stiu... In articol recomand ceea ce dupa mine este cea mai frumoasa demostratie in matematica elementara (demostratia lui Hilbert a teoremei 1 --- categorical se enunta ca sistemele Peano sunt obiecte initiale intr-o anumita categorie de triple si deci unice pana la un izomorfism).

Articolul contine ca noutate o reciproca a ei demostrata elementar fara a fololosi axioma infinitului a lui Zermelo-Frankel.

M-a atras faptul ca se demonstreaza o reciproca la acea teorema fara sa se foloseasca axioma infinitului din ZF. Teorema 2, nu are nevoie de axioma infinitului, dar nu demonstreaza existenta unui triplet Peano-Dedekind. De fapt consistenta ipotezei teoremei 2 este echivalenta cu axioma infinitului din ZF.

Constructia (existenta daca doresti) unui sistem Peano nu o pot arata decit cu axioma infinitului. Eu nu stiu decit asa sa o arat.

Ea mai este echivalenta cu faptul ca un anumit functor uituc are un adjunct (dar asta depaseste cadrul liceului si e destul de delicat de explicat unui elev ca 'in natura functorii uituci au de regula adjuncti" si atunci e natural sa axiomatizam ca si ala are).

Articolul isi propune doar sa demostreze reciproca teoremei lui Hilbert fara sa foloseasca axioma infintului asa cum nici in demostratia teoremei lui Hilbert nu e folosita. In absenta axiomei infinitului si teorema lui Hilbert (adica teorema 1) este la fel de consistenta/inconsistenta ca si reciproca ei --- pentru ca vorbesti de ceva despre care ... nu sti ca exista! Daca imi asum axioma infinitului atunci demostratia teoremei 2 iese altfel intr-un singur rind folosind aceasta axioma (pentru constructia unui model de sistem Peano) si unicitatea obiectelor initiale -- demostratia asta rapida am dat-o la curs

Ca'n religie: vorbim de Dumnezeu, stim ca exista, dar nu stim cum arata. Apropo de religie: vezi ca incadrarea articolului in "algebra" este un pic fortata: "teoria multimilor" as pune sau mai degraba 'fundamentele matematicii' sa ii satisfacem pe cei din computer science.

Ne mai propuneam sa popularizam demostratia teoremei Hilbert si sa iti spun de ce: in cartile romanesti pe unde am gasit-o facuta copiaza mecanic (dar absolut mecanic, unii mai schimba notatiile doar) demostratia din Jacobson (Basic Algebra) --- nici acolo nu arata explicit locul unde sunt folosite toate cele trei axiome ale lui Peano desi zice ca le foloseste. Ori folosirea uneia dintre axiomele Peano se face intr-un loc bine ascuns de privirile indiscrete. Nu il gasesti nici in demostratia reprodusa in Jacobson si ... culmea, nu-i asa? ... nici prin cartile romanesti care copiaza demostratia din Jacobson.