On the lipschitz extension constant (Analiza complexa)
Posted: Mon Nov 19, 2007 9:23 am
Un articolas elementar despre ce scrie in titlul topicului.
Nu stiu daca are noutati sau nu.
Daca aveti chef va puteti da cu parerea
.
http://www.lobortis.com/n/3206563379
Pe scurt:
In general, cand avem functii lipschitziene cu valori complexe si vrem sa le extindem de la un subspatiu metric la tot spatiul constanta de extindere nu poate fi 1. Pentru aceasta se considera urmatorul contraexemplu:
\( X=\{e,x_1,x_2,x_3\} \) spatiu metric astfel incat \( d(p_i,p_j)=1,\forall i\neq j, d(e, x_i)=\frac 12, i=1,2,3 \). O izometrie din \( X_0=X-\{e\} \) la \( \mathbb C \) poate fi extinsa la tot X-ul cu o constanta de extindere de cel putin \( \frac{2}{\sqrt{3}} \), iar asta se observa considerand functia f care duce pe \( e \) in centrul cercului circumscris triunghilui \( f(p_i),i=1,2,3 \).
Scopul acestui articol este de a slabi putin conditiile impuse asupra lui d (metricii), si-anume daca \( d(e,p_i)+d(e,p_j)=d(p_i,p_j)i\neq j, i,j=1,2,3 \) atunci constanta de extindere se pastreaza (adica e cel putin \( \frac{2}{\sqrt3} \)).
Credem ca ar trebui sa mearga si cand \( d(e,p_i)+d(e,p_j)>d(p_i,p_j) \) dar atunci cand ne-am gandit la problema ne-a scapat ceva (parea sa mearga, apoi am gasit o mica hiba), sigur e un argument elementar.
Nu stiu daca are noutati sau nu.
Daca aveti chef va puteti da cu parerea
.http://www.lobortis.com/n/3206563379
Pe scurt:
In general, cand avem functii lipschitziene cu valori complexe si vrem sa le extindem de la un subspatiu metric la tot spatiul constanta de extindere nu poate fi 1. Pentru aceasta se considera urmatorul contraexemplu:
\( X=\{e,x_1,x_2,x_3\} \) spatiu metric astfel incat \( d(p_i,p_j)=1,\forall i\neq j, d(e, x_i)=\frac 12, i=1,2,3 \). O izometrie din \( X_0=X-\{e\} \) la \( \mathbb C \) poate fi extinsa la tot X-ul cu o constanta de extindere de cel putin \( \frac{2}{\sqrt{3}} \), iar asta se observa considerand functia f care duce pe \( e \) in centrul cercului circumscris triunghilui \( f(p_i),i=1,2,3 \).
Scopul acestui articol este de a slabi putin conditiile impuse asupra lui d (metricii), si-anume daca \( d(e,p_i)+d(e,p_j)=d(p_i,p_j)i\neq j, i,j=1,2,3 \) atunci constanta de extindere se pastreaza (adica e cel putin \( \frac{2}{\sqrt3} \)).
Credem ca ar trebui sa mearga si cand \( d(e,p_i)+d(e,p_j)>d(p_i,p_j) \) dar atunci cand ne-am gandit la problema ne-a scapat ceva (parea sa mearga, apoi am gasit o mica hiba), sigur e un argument elementar.