mateforum.ro

Fie \( ABC \) un triunghi oarecare, iar \( a, b \) si \( c \) trei transversale concurente intr-un acelasi punct \( P \). Notam cu \( A_a, A_b, A_c \) punctele de intersectie ale dreptei(transversalei) \( a \) in mod respectiv cu dreptele suport ale laturilor \( BC, CA, AB \); cu \( B_a, B_b, B_c \) punctele de intersectie ale dreptei \( b \) in mod respectiv cu dreptele \( BC, CA, AB \); iar cu \( C_a, C_b, C_c \) punctele de intersectie ale dreptei \( c \) cu dreptele \( BC, CA, AB. \) Sa se arate ca urmatoarele 2 afirmatii sunt echivalente:
(i). punctele \( A_a, B_b, C_c \) sunt coliniare; (ii). Punctele \( A_b, A_c, B_a, B_c, C_a, C_b \) se gasesc pe o aceeasi conica.
APLICATII:
1). Fie \( ABC \)un triunghi oarecare si \( P \) un punct al cercului circumscris triunghiului. Perpendiculare dusa din punctul \( P \)pe dreapta BC intersecteaza dreptele \( AC \)si \( AB \)in punctele \( A_b, A_c \), perpendiculara dusa din \( P \) pe dreapta \( AC \) intersecteaza dreptele \( BC \) si \( AB \) in punctele \( B_a, B_c \), iar perpendiculara dusa din \( P \) pe dreapta \( AC \) intersecteaza dreptele \( BC \) si \( AC \) in punctele \( C_a, C_b \). Sa se arate ca punctele \( A_b, A_c, B_a, B_c, C_a, C_b \) sunt cinci puncte care se gasesc pe o aceeasi conica.
2). Fie \( ABC \) un triunghi oarecare si \( P \) un punct din planul sau. Notam cu \( B_1 \)si \( C_1 \) punctele de intersectie ale dreptelor \( AC \) si \( AB \) cu perpendiculara dusa prin punctul \( P \)pe dreapta \( PA \), cu \( A_2 \) si \( C_2 \) punctele de intersectie ale dreptelor \( BC \) si \( AB \) cu perpendiculara dusa prin \( P \) pe dreapta \( BP \), iar cu \( A_3, B_3 \) punctele de intersectie ale dreptelor \( BC \) si \( AC \). Sa se arate ca punctele \( A_2, A_3, B_1, B_3, C_1, C_2 \) sunt 6 puncte care se gasesc pe o aceeasi conica.

voi aplica aceeasi idee pe care am mai aplicat`o pe aici - teorema lui pascal.

\( B_aC_a \cap A_bA_c = \{ A_a \} \)
\( C_aC_b \cap A_cB_c = \{ C_c \} \)
\( C_bA_b \cap B_cB_a = \{ B_b \} \)

deci, din teorema lui pascal, punctele \( A_b,A_c,B_a,B_c,C_a,C_b \) sunt pe o conica daca si numai daca punctele \( A_a,B_b,C_c \) sunt coliniare.

nota : e probabil sa fi gresit eu ceva. nu am folosit nicaieri faptul ca cele trei drepte \( a,b,c \) sunt concurente.

aplicatia 1 : teorema lui simson + rezultatul de mai sus

aplicatia 2 : teorema lui bobiller + rezultatul de mai sus (*)

nota 2 (*) : teorema lui bobiller este un rezultat dragut, pe care l`am mentionat si aici : http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=338

edit : am adaugat linkul.

Nu e nimica gresit in demonstratie data de dv!
Intr-adevar, conditia ca dreptele \( a, b, c \) sa fie concurente nu este necesara!
Configuratia de aici, este un caz particular de triunghiuri omologice, primul triunghi fiind triunghiul \( ABC \)si cel de al doilea triunghi fiind redus la punctul \( P \).
vezi: "Triunghiuri omologice si conice"