mateforum.ro

Fie \( f \) o functie care admite primitive si nu se anuleaza, iar \( g \) o functie continua. Demonstrati ca \( fg \) admite primitive.

Fie f,g:J->R si F primitiva a lui f. Din faptul ca \( F\prime(x)=f(x)\,\neq\,0 \)=> F strict monotona.
Consideram H:J->F(J), data prin H(x)=F(x), oricare ar fi x din J. H este derivabila, surjectiva, injectiva (strict monotona) => H are inversa care va fi si derivabila. Functia \( g\circ H^{-1}:F(J)\rightarrow R \) admite primitive, fiind continua. Fie G o primitiva a functiei \( g\circ H^{-1} \) => \( G\circ H \) derivabila =>\( (G(H(x))\prime =g(H^{-1}(H(x))H\prime(x)=g(x)f(x) \), oricare ar fi x din J.

P.S. Teorema lui Wilkosz nu e asta?
Fie f,g:J->R, J interval, doua functii cu urmatoarele proprietati:
1. f admite primitive
2. f marginita superior sau inferior
3. g este continua
=> fg admite primitive.

Se poate arata ca cele doua formulari sunt echivalente. Adica, daca f nu se anuleaza, e marginita superior sau inferior. Daca f e marginita inferior, f>m si f-m nu se anuleaza.