Orice extindere Galois infinita cu grup a carui latice de subgrupuri inchise e total ordonata e un contraexemplu.
Daca
\( F \) e un corp finit, atunci grupul lui Galois absolut (grupul Galois al inchiderii algebrice
\( \overline{F} \) peste
\( F \), adica) e completarea lui
\( \mathbb Z \) in topologia definita de toate subgrupurile netriviale: cea mai slaba topologie in care toate subgrupurile netriviale sunt deschise. El se poate descrie si ca produsul direct al grupurilor aditive
\( \mathbb{Z}_p \) de intregi
\( p \)-adici pentru toate numerele prime
\( p \). Asta inseamna ca exista o extensie
\( K/F \) cu grup Galois
\( \mathbb{Z}_p \) (pentru un prim fixat
\( p \)). Cum
\( \mathbb{Z}_p \) are proprietatea mentionata mai sus (orice subgrup inchis e ideal in
\( \mathbb{Z}_p \) privit ca inel, si idealele sunt exact puterile unicului ideal prim nenul), am terminat.
Afirmatia e adevarata in schimb daca extensia e finita. Mai general, o extensie finita de corpuri e simpla daca si numai daca are numar finit de subextensii. Implicatia care ne intereseaza aici e si cea usoara, intamplator
.