mateforum.ro

Fie ABCD un patrulater inscriptibil, E mijlocul diagonalei BD si C1, C2, C3, C4 cercurile circumscrise triunghiurilor AEB, BEC, CED, respectiv DEA. Sa se arate ca, daca C4 este tangent la dreapta CD, atunci C1, C2, C3 sunt respectiv tangente la dreptele BC, AB, AD.

Hint: Printr-o inversiune de pol \( D \) iese un paralelogram \( DA\prime \)\( E\prime \) \( C\prime \), cu \( B\prime \) mijlocul segmentului \( DE\prime \)...

Fie \( X \) conjugatul armonic al lui \( P \) (intersectia diagonalelor). Conditia din ipoteza e echivalenta cu \( AP \) simediana. Atunci \( XA \) e tangenta la cercul \( \mathcal{C}_{ABCD} \) (chestie cunoscuta) si deci polara lui \( X \) e \( AC \). In concluzie, polara lui \( AC \) e pe \( BD \), asadar \( ABCD \) armonic, si de aici rezulta ca diagonalele sunt simediane, deci toate cercurile alea sunt tangente la laturile corespunzatoare.