mateforum.ro

a) Fie \( F,G \) doua spatii vectoriale reale cu \( \dim{F}<\infty \) si fie \( E\subseteq{F} \) un subspatiu. Daca \( T:F\to{G} \) este liniara, aratati ca

\( \dim{TF}-\dim{TE}\leq\dim{F}-\dim{E} \).

b) Fie \( A,B,C \) matrice reale multiplicabile in aceasta ordine. Aratati ca

\( rang(AB)+rang(BC)\leq{rang}(ABC)+rang(B) \).

Admitere SNSB, 2005

***

a) \( E \) e subspatiu in \( F \). Daca \( E=F \) nu avem ce demonstra. Altfel \( E \) e strict inclus in \( F \) si are dimensiunea strict mai mica decat a lui \( F \). Astfel exista un subspatiu al lui \( F \) cu \( E \oplus H \). Se demonstreaza usor ca \( T(E\oplus H)=T(E)+T(H) \). Atunci din formula dimensiunii a lui Grassman \( \dim T(E\oplus H)\leq \dim T(E)+\dim T(H) \), adica inegalitatea ceruta, pentru ca \( \dim H =\dim F -\dim E \).

b) Pentru matrici date \( A,B,C \) astfel incat se poate face inmultirea in aceasta ordine. Pentru aceste trei matrici putem gasi trei aplicatii liniare, \( T:F \to G, U:G\to H, V:H \to I \) care sa fie determinate de aceste matrici. Atunci folosind faptul ca rangul unei matrici este dimensiunea imaginii spatiului prin aplicatia liniara determinata de matricea respectiva obtinem
\( rang (ABC)-rang(BC)\geq rang(AB)-rang(B) \Leftrightarrow \dim VUT(F)-\dim VU(G)\geq \dim UT(F) -\dim U(G) \),
care este chiar inegalitatea de la punctul a) pentru aplicatia \( V:U(G) \to I \) si pentru \( UT(F) \leq U(G) \). (Sensul e schimbat pentru ca e invers ordinea termenilor, i.e. inegalitatea e inmultita cu -1.)