mateforum.ro

Pentru orice operator pozitiv \( a\in B(H) \) definim "urma" lui astfel: alegem o baza ortonormala \( \{\xi_{n}\}_{n} \) a lui \( H \) si punem
\( \tr(a)=\sum_{n} (a\xi_{n}| \xi_{n}) \in [0, \infty] \).

Sa se arate \( \tr(v^{*}av)\leq\tr(a) \) pentru orice \( v\in B(H) \) izometrie partiala.

Raspunsul este in mare parte cuprins in definitia urmei, in sensul ca aceasta nu depinde de alegerea bazei ortonormale, exinderea acesteia la toti operatorii cu urma finita (idealul operatorilor nucleari), si proprietatea \( \mathrm{tr}(ab)=\mathrm{tr}(ba) \), afirmatii care trebuie demonstrate in prealabil. Astfel, inegalitatea este netriviala doar pentru \( a \) operator nuclear. In acest caz, daca izometria partiala \( v \) are suportul stang (proiectia ortogonala pe inchiderea imaginii) \( p \) atunci \( \mathrm{tr}(v^*av)=\mathrm{tr}(v^*papv)=\mathrm{tr}(vv^*pap)=\mathrm{tr}(pap)\leq \mathrm{tr}(a) \), ultima inegalitate are loc deoarece putem alege baza ortonormala in mod particular ca o extensie a unei baze ortonormale a subspatiului \( \mathrm{Ran}(p) \), imaginea proiectiei ortogonale \( p \).