Inelul grupal al unui p-grup finit este local
Posted: Sun Dec 16, 2007 12:56 am
Fie G un p-grup finit (p prim) si fie F un corp de caracteristica p. Aratati ca inelul grupal \( F[G] \) este un inel local.
Una din caracterizarile inelului local este R/J(R) sa fie inel cu diviziune, unde J(R) este idealul Jacobson (intersectia tuturor idealelor stangi/drepte maximale).
In general, daca I este un ideal (suficient drept) in R, si I este nil, i.e. fiecare element este nilpotent, atunci I este inclus in radicalul Jacobson.
dem: Fie \( y\in I \) si \( x\in R \), atunci yx este in I, deci este nilpotent si prin urmare (1-yx) este inversabil ceea ce implica \( y\in J(R) \).
In cazul acesta concret, fie \( \Delta \) idealul augmentat, i.e. nucleul morfismului(de inele) \( \varepsilon:F[G]\to F, \varepsilon(g)=1,\forall g\in G, \varepsilon(f)=f,\forall f\in F \).
Sa observam ca elementele lui \( \Delta \) sunt nilpotente. Intr-adevar, daca \( a_1g_1+\ldots+a_kg_k\in\Delta \) (adica \( a_1+\ldots+a_k=0 \)) atunci (folosind faptul ca F are char=p si G este un p grup finit) \( (a_1g_1+\ldots+a_kg_k)^{|G|}=(a_1+\ldots+a_k)^{|G|}=0 \).
Deci conform rezultatului mentionat mai sus avem ca \( \Delta\subset J(F[G]) \).
Dar \( F[G]/\Delta = F \)(= este izomorf), deci \( \Delta=J(F[G]) \) si am obtinut faptul ca F[G] este un inel local.