mateforum.ro

Sa se justifice daca seria \( \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{1,8+\sin n}} \) este convergenta sau nu.

UIUC Math Contest 2005

Mai complicat este pentru 2 in loc de 1,8.

Solutia pentru 1,8 (nu functioneaza pentru 1,9 ):
Zona din cercul trigonometric unde sinusul este mai mic decat -0,8 are unghiul \( \pi - 2\arcsin0,8 \), care e aproximativ 1,2 > 1.
Deci exista un K natural astfel ca una din valorile sinn, sin(n+1),..., sin (n+k-1) sa fie in acea zona, deci macar unul din acesti sinusi sa fie < -0,8.
Daca asociem cate k termeni in suma, atunci macar unul din termeni din gruparea n va fi mai mare decat \( \frac{1}{((n+1)k)^{1,8-0,8}} \), unde n e ordinul gruparii (adica a cata asociere este din serie), deci suma diverge.

Scuzati solutia putin vaga, dar cred ca s-a inteles ideea.

aleph wrote:Mai complicat este pentru 2 in loc de 1,8.

As fi curios sa vad o solutie.

\( \sum \frac{1}{n^{c+\sin(n)}} \) diverge for any \( c<2 \)

Am o idee de demonstratie pentru \( c<2 \). Prima data ar trebui sa demonstram ca sirul \( (\sin n) \) este echidistribuit in \( [-1,1] \), adica \( \lim_{N\to \infty} \frac{ | \{sin n : n\leq N \} \cap [c,d] |}{N}=\frac{d-c}{2} \).

Acum, daca \( c<2 \), luand \( \varepsilon=1-c >-1 \) si \( \varepsilon >0 \) astfel incat \( 1-c-\varepsilon >-1 \). Atunci \( \lim_{N\to \infty} \frac{ | \{sin n : n\leq N \} \cap [-1,1-c-\varepsilon] |}{N}=\frac{2-c-\varepsilon}{2}>d>0 \), unde \( d \) a fost ales strict pozitiv.

Astfel exista \( N_0 \) astfel incat pentru orice \( N\geq N_0 \) sa avem \( | \{sin n : n\leq N \} \cap [-1,1-c-\varepsilon] |> Nd \).

Daca notam cu \( A_N= \{sin n : n\leq N \} \cap [-1,1-c-\varepsilon] \) atunci pentru \( n \in A \) avem \( \frac{1}{n ^{c+\sin n}}>\frac{1}{n^{1-\varepsilon}} \).

Notand cu \( S \) seria initiala avem \( S \geq \sum_{n \in A_N} \frac{1}{n^{1-\varepsilon}} \) si \( |A_N| > Nd \). Mai departe \( S \geq \sum_{n=N-[Nd]}^N \frac{1}{n^{1-\varepsilon}},\ \forall N \geq N_0 \).

Voi continua...