mateforum.ro

Fie \( p\geq 2 \) un numar natural. Sa se arate ca \( p \) este prim daca si numai daca orice poligon echiangular cu lungimile laturilor numere rationale cu \( p \) laturi este regulat.

Mihai Piticari

Consideram \( \varepsilon=\cos \frac{2\pi}{p}+i\sin \frac{2 \pi}{p} \). Conditia ca sa existe un poligon echiangular cu \( p \) laturi numere rationale (cel putin doua distincte) este echivalenta cu existenta numerelor rationale distincte \( q_i,\ i=0..p-1 \) astfel incat \( \sum_{i=0}^{p-1} \varepsilon^i q_i =0 \). Acest lucru este echivalent cu faptul ca polinomul minimal al lui \( \varepsilon \) peste \( \mathbb{Q} \) nu este \( 1+X+...+X^{p-1} \). Acest lucru este echivalent cu faptul ca \( p \) nu este prim.

Negand aceasta echivalenta, obtinem chiar problema noastra.

Despre aceasta problema si alte aplicatii ale poligoanelor echiunghiulare se poate citi in GMB nr.11/2002, in articolul semnat de Titu Andreescu si Bogdan Enescu.

Bogdan Cebere wrote:Despre acesta problema si alte aplicatii ale poligoanelor echiunghiulare se poate citi in GMB nr.11/2002, in articolul semnat de Titu Andreescu si Bogdan Enescu.

Sau aici