mateforum.ro

Gasiti toate functiile \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) continue a.i. \( (f\circ f)(x)-3f(x)+2x=0 \) , \( (\forall )\ x\in \mathbb R \).

Observam solutiile x si 2x, injectivitatea lui f si implicit ca e strict monotona...si cam atat. Putin ajutor ...

***

Cum s-a vazut si mai sus obtinem ca \( g=f^{-1} \) este continua, bijectiva si strict crescatoare, cu \( g(2g(x)-x)=2g(x)-x \) si \( a_n=g^{[n]}(x)=2g(x)-x+\frac{1}{2^{n-1}(x-g(x)) \). De aici rezulta ca multimea punctelor fixe ale lui \( g \), notata cu \( Fix(g) \) este nevida, si mai mult, include \( Im(2g(x)-x) \).
Cum \( 2g(x)-x \) e continua, rezulta ca \( Im(2g(x)-x) \) e un interval care poate fi: \( \mathbb{R},\ (-\infty,b],\ [a,\infty),\ [a,b] \) (eventual redus la un punct). Intervalele \( \neq\mathbb{R} \) sunt inchise la partea finita din continuitate.
Ca urmare:
\( (i) Im(2g(x)-x)=\mathbb{R}\rightarrow g(x)=x \), care verifica.
\( (ii) Im(2g(x)-x)=(-\infty,b]\rightarrow g(x)=x \) pe \( (-\infty,b]. \)
Cum \( g \) este bijectie strict crescatoare, rezulta ca \( g: (b,\infty)\to(b,\infty)\rightarrow a_n=g^{[n]}(x)>b,\forall x>b\rightarrow \lim a_n\geq b\leftrightarrow 2g(x)-x\geq b,\forall x>b\rightarrow g(x)\geq\frac{1}{2}(x+b),\forall x>b. \)
Dar \( 2g(x)-x\leq b, \forall x\leftrightarrow g(x)\leq\frac{1}{2}(x+b) \)
In consecinta \( g(x)=\frac{1}{2}(x+b), \forall x>b \), care verifica.
\( (iii) \) Analog, \( Im(2g(x)-x)=[a,\infty) \) da:
\( g(x)=\frac{1}{2}(x+a), x<a \) si \( g(x)=x, x\geq a. \)
\( (iv) \) Analog, \( Im(2g(x)-x)=[a,b] \) da:
\( g(x)=\frac{1}{2}(x+a) x<a, \\g(x)=x , x\in[a,b], \\g(x)=\frac{1}{2}(x+b), x>b. \)
\( f \) se poate calcula foarte usor din \( g=f^{-1} \).

Cred ca problema este foarte grea si partea secunda a rezolvarii necesita mai multa tehnica decat prima parte care este intuitiva.

A se vedea si http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p ... 2855654#94