mateforum.ro

In planul proiectiv \( P^{2}(\mathbb{R}) \) se considera patrulaterul \( P_{1}P_{2}P_{3}P_{4} \). Pe dreapta \( P_{2}P_{4} \) se considera un punct arbitrar \( S \) prin care trec doua drepte arbitrare \( a \) si \( c \). Intersectiile dreptei \( a \) cu \( P_{1}P_{2} \) si \( P_{1}P_{4} \) sunt \( L_{1} \) si \( M_{1} \), iar intersectiile dreptei \( c \) cu \( P_{2}P_{3} \) si \( P_{4}P_{3} \) sunt \( L_{3} \) si \( M_{3} \). Sa se arate ca dreptele \( L_{1}L_{3}, M_{1}M_{3}, P_{1}P_{3} \) sunt concurente.

triunghiurile \( \triangle L_1M_1P_1 \) si \( L_3M_3P_3 \) sunt omologice, deoarece :
\( L_1P_1 \cap L_3P_3 = \{ P_2 \} \)
\( L_1M_1 \cap L_3M_3 = \{ S \} \)
\( M_1P_1 \cap M_3P_3 = \{ P_4 \} \),
iar \( P_2,S,P_4 \) sunt coliniare.
deci \( L_1L_3,M_1M_3,P_1P_3 \) sunt concurente, din teorema lui desargues.