mateforum.ro

Cate matrice inversabile sunt in \( M_2(\mathbb{Z}_p) \), p numar prim ?

Generalizare?()

Si apoi, cate dintre ele au determinantul \( \hat{x} \), cu \( \hat{x} \) nenul?

Matrice de ordin n si inversabile peste Zp: consideram coloanele ca fiind niste vectori n-dim cu componente din Zp.
Problema se reduce la a numara cate posibilitati de a alege n vectori liniar independenti sunt: pe primul il putem alege in \( p^n-1 \) moduri (e clar, in afara de cel nul, restul sunt buni). Fie v1 acesta. Pe al doilea il putem alege in \( p^n-1 \) moduri mai putin vectorii de forma q*v1, unde q e din Zp nenul, adica avem \( p^n-1-(p-1)=p^n-p \) posibilitati pentru al doilea vector. Fie acesta v2.
....
La pasul k+1, avem alesi v1, v2,..., vk.
Pe \( v_{k+1} \) il putem alege in \( p^n-1 \) moduri mai putin vectorii care sunt de forma \( q_1*v_1+...+q_kv_k \), unde nu toti qi sunt nuli. Adica \( p^n-1 -(p^k-1)=p^n-p^k \) moduri.
.....
Concluzie: numarul de vectori liniar independeti este \( (p^n-1)(p^n-p)....(p^n-p^{n-1}) \)
Acesta este de fapt numarul matricelor inversabile cu elemente din Zp pentru p prim.