Page 1 of 1
Congruenta modulo n gen Fermat
Posted: Wed Jan 09, 2008 10:22 am
by Cezar Lupu
Fie \( n\geq 2 \) si \( (a,n)=1 \). Sa se arate ca
\( a^{n-1}+(n-1)! \equiv 0 ( mod n) \) daca si numai daca \( n \) este prim.
Leo Moser
Posted: Wed Jan 09, 2008 10:46 pm
by Filip Chindea
Cezar Lupu wrote:Fie \( n\geq 2 \) si \( (a,n)=1 \). Sa se arate ca
\( a^{n-1}+(n-1)! \equiv 0 \pmod{n} \) daca si numai daca \( n \) este prim.
Leo Moser
Implicatia inversa este evidenta (Fermat & Wilson-Lagrange).
Direct, fie prin contradictie un prim
\( p | n \),
\( p \le n - 1 \). Concluzionam
\( p | (n - 1)! \), iar
\( p | n | a^{n - 1} + (n - 1)! \). In concluzie
\( p | a^{n - 1} \), deci
\( p | a \) si
\( p | n \), absurd.
Nu cunosc motivatia mentionarii acelui autor - pare chiar folclor (cazul particular
\( a = 2 \) poate fi întâlnit ca problema 105 pentru gimnaziu în Arhimede 2004 05-06 - propusa de G. Dospinescu - se poate verifica pe website).