Page 1 of 1
Sirul {n\sqrt2}+{n\sqrt3} este divergent
Posted: Sat Sep 29, 2007 12:02 am
by Cezar Lupu
Sa se arate ca sirul \( a_{n}=\{n\sqrt{2}\}+\{n\sqrt{3\} \) este divergent, unde \( \{x\} \) reprezinta partea fractionara a numarului real \( x \).
Alin Galatan, Cezar Lupu, lista scurta ONM 2007
Posted: Wed Feb 27, 2008 4:09 pm
by Radu Titiu
Deoarece \( \{a\}+\{b\}-\{a+b\} \in \{0,1\} \) pentru a, b reale, rezulta ca
\( \{n\sqrt{2}\}+\{n\sqrt{3}\}=\{n(\sqrt{2}+\sqrt{3})\}+c \) unde c e ori 0 ori 1.
Deoarece sirul \( \{n(\sqrt{2}+\sqrt{3})\} \) este dens in intervalul [0,1] (Teorema lui Kronecker) rezulta ca e divergent. Acea constanta "c" nu afecteaza cu nimic rezultatul.