mateforum.ro

Sa se arate ca multimea \( A=\{m\sqrt{3}+n\sqrt{2}, m,n\in\mathbb{Z}\} \) este densa in \( \mathbb{R} \).

Folosim Lema lui Kronecker care spune ca \( \{n\alpha\} \) e densa in [0,1] pentru \( \alpha \) irational. Echivalent cu \( A=\{m+n\alpha\} \) cu \( m,n\in Z \)densa in R. Evident, luam \( \alpha=sqrt{\frac{3}{2}} \)
Deci pentru orice numar x real, gasim un sir \( x_n\in A \) astfel ca \( x_n\to x \). Atunci \( x_n\sqrt{2}\to x\sqrt{2} \). Cum \( x\sqrt{2} \) ia orice valoare reala si sirul \( x_n\sqrt{2} \) e din multimea care vrem sa aratam ca e densa, rezulta concluzia.