mateforum.ro

Fie \( ABC \) un triunghi si O un punct in interiorul sau. Fie A' , B' , C' puncte pe \( OA, OB, OC \) respectiv. Fie A" punctul de intersectie al lui BC' cu CB' si analoagele.
Sa se arate ca \( AA", BB" \) si \( CC" \) sunt concurente.


Marius Cavachi

idee : \( B^{\prime\prime}C^{\prime\prime}, B^{\prime}C^{\prime}, BC \) sunt concurente.

demonstratie : triunghiurile \( \triangle BB^{\prime}C^{\prime\prime} \) si \( \triangle CC^{\prime}B^{\prime\prime} \) sunt omologice, deoarece

\( B^{\prime}C^{\prime\prime} \cap C^{\prime}B^{\prime\prime} = \{A\} \)
\( BC^{\prime\prime} \cap CB^{\prime\prime} = \{A^{\prime}\} \)
\( BB^{\prime} \cap CC^{\prime} = \{O\} \)

iar \( O,A,A^{\prime} \) sunt coliniare.
deoarece triunghiurile sunt omologice, rezulta si afirmatia facuta la inceput, si anume ca dreptele \( BC, B^{\prime}C^{\prime}, B^{\prime\prime}C^{\prime\prime} \) sunt concurente.
cum triunghiurile \( \triangle ABC \) si \( \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \) sunt omologice, rezulta ca punctele :

\( X\in BC\cap B^{\prime}C^{\prime}\cap B^{\prime\prime}C^{\prime\prime} \)
\( Y\in CA \cap C^{\prime}A^{\prime}\cap C^{\prime\prime}A^{\prime\prime} \)
\( Z\in AB\cap A^{\prime}B^{\prime}\cap A^{\prime\prime}B^{\prime\prime} \)

sunt coliniare, deci si triunghiurile \( \triangle ABC \) si \( \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \) sunt omologice, si de aici rezulta concluzia.