mateforum.ro

Aceeasi problema am postat-o si la sectiunea Olimpiade clasa 11-a, dar ea poate fi buna si pentru un seminar de Analiza Reala, anul 1.

Sa se arate ca multimea \( A=\{m\sqrt{3}+n\sqrt{2}| m,n\in\mathbb{Z}\} \) este densa in \( \mathbb{R} \).

Se aplica Lema lui Kronecker care spune ca \( \{n\alpha\} \) e densa in [0,1], pentru \( \alpha \) irational. Echivalent, \( A=\{m+n\alpha| m,n\in \mathbb{Z}\} \) e densa in \( \mathbb{R}. \)
Evident, luam \( \alpha=sqrt{\frac{3}{2}} \). Deci pentru orice numar real x gasim un sir \( x_n\in A \) astfel ca \( x_n\to x \). Atunci \( x_n\sqrt{2}\to x\sqrt{2} \). Cum \( x\sqrt{2} \) ia orice valoare reala si sirul \( x_n\sqrt{2} \) e din multimea care vrem sa aratam ca e densa, rezulta concluzia.