mateforum.ro

Fie \( f:X\to C \)morfism surjectiv propriu de la o varietate proiectiva X pe o curba C (nu cred ca e neaparata nevoie sa fie nesingulara). Sa se arate ca exista o curba C' in X care nu este contractata de f, adica acopera surjectiv pe C (din cauza faptului ca f este proprie).

Fie \( x\in X \) un punct inchis si \( y=f(x) \). Fibra \( X_y \) este o reuniune finita de submultimi inchise \( X_i,\ i=\overline{1,n} \) ireductibile de codimensiune unu in \( X \). Fiecare \( X_i \) este inchiderea unui unic punct \( x_i\in X \).

Dacă \( \dim X\ge 2 \), atunci există cu siguranţă un punct \( p\in X \) astfel încât (a) inchiderea lui \( \{p\} \) contine punctul \( x \) (cu alte cuvinte, \( p \) e o generizare a lui \( x \)), (b) inchiderea lui \( \{p\} \) are codimensiune unu in \( X \), si (c) \( p \) nu coincide cu niciunul din punctele \( x_i,\ i=\overline{1,n} \). Aceasta se poate vedea lucrand intr-un deschis afin in jurul lui \( x \) si folosind faptul ca un ideal prim de inaltime cel putin doi al unui domeniu noetherian contine o infinitate de ideale prime de inaltime unu.

Inchiderea unui punct \( p \) ca mai sus va fi acum o varietate proiectiva de dimensiune strict mai mica decat \( \dim X \), pe care morfismul \( f \) o aplica surjectiv pe \( C \): un morfism al unei varietati proiective intr-o curba ori e surjectiv ori are imagine punctuala, iar \( f \) restrictionat la inchiderea lui \( p \) nu poate avea imagine punctuala pentru ca aceasta inchidere contine \( x \) dar nu este continuta in fibra \( X_{f(x)} \). Acum putem face inductie dupa \( \dim X \).