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Sir convergent plus o conditie, atunci limita sa este 0
Posted: Tue Jan 22, 2008 3:58 am
by Cezar Lupu
Fie \( (x_{n})_{n\geq 1} \) un sir convergent de numere reale astfel incat sa existe
\( \lim_{n\to\infty}n\left(\frac{x_{n}}{x_{n-1}}-1\right)\in\mathbb{R}^{*} \).
Sa se arate ca \( \lim_{n\to\infty}x_{n}=0 \).
Re: sir convergent atunci limita sa este egala cu 0
Posted: Tue Jan 22, 2008 4:03 pm
by Bogdan Cebere
Cezar Lupu wrote:Fie \( (x_{n})_{n\geq 1} \) un sir convergent de numere reale astfel incat sa existe
\( \lim_{n\to\infty}n\left(\frac{x_{n}}{x_{n-1}}-1\right)\in\mathbb{R}^{*} \).
Sa se arate ca \( \lim_{n\to\infty}x_{n}=0 \).
Cum exista
\( \lim_{n\to\infty}n\left(\frac{x_{n}}{x_{n-1}}-1\right)\in\mathbb{R}^{*} \), rezulta ca exista un M astfel incat
\( n\left(\frac{x_{n}}{x_{n-1}}-1\right)<M \), adica
\( \frac{x_{n}}{x_{n-1}}<\frac{M}{n}+1 \).
Trecand inegalitatea la limita avem ca
\( \lim_{n\to\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n-1}}\right)<1 \), deci
\( \lim_{n\to\infty}{x_{n}}=0 \).