mateforum.ro

Sa notam suma cifrelor unui numar natural \( k \) cu \( s(k) \). Rezolvati ecuatia \( n=2s^{3}(n)+8 \) in numere naturale.

Zhautykov Olympiad 2008

Dupa doua saptamâni, un Hint e perfect:
1) Gasiti un majorant convenabil pentru \( s(n) \) (mai general, pentru \( f \in \mathbb{Z}[X] \), \( n = \tilde{f}(s(n)) \) are un numar finit de solutii - de ce?).
2) Priviti relatia în \( \mathbb{Z}_{b-1} \) si deduceti valorile posibile pentru \( \widehat{s(n)} \), unde \( n \) a fost reprezentat \( b \)-adic (presupun ca în acest caz \( b = 10 \)).
3) Finalizare (obtinerea celor 3 solutii din cele câteva cazuri posibile).