mateforum.ro

Sa se arate ca sirul armonic \( H_{n}=1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n} \) este divergent.

Pai nu e sir Cauchy, deci este divergent.
Demostratia este simpla: \( |x_{2n}-x_n|=\frac {1}{n+1}+\frac {1}{n+2}+...+\frac {1}{2n}>n\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}. \) In concluzie \( (H_n) \) nu este sir Cauchy, deci este divergent.

\( H_{n}=1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}-\ln n=c \), unde c este o constanta (constanta lui Euler parca).
Asadar \( H_{n}=c+ln n \) iar \( c+\ln n \) tinde la infinit, rezulta ca sirul \( (H_{n}) \) este divergent.