mateforum.ro

Examen: Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale
Profesor: G. Dinca

Asta e doar unul dintre examene. Examenul s-a dat de 3 ori. Depinde de grupa si cand mergeai la examen.

1. Teorema Lions-Stampacchia. Enunt, demonstratie, consecinte.

2. Fie \( \Omega \) un deschis marginit din \( R^m \) si \( f_i\in L^2(\Omega), i=1,...,n \). Notam cu \( T_i \) distributiile generate de \( f_i \) si \( T:=-\sum_{i=1}^n-\frac{\partial T_i}{\partial x_i} \).
a) Aratati ca T este o distributie.
b) Aratati ca \( T:(C_0^{\infty}, ||\cdot ||_{1,2})\to R \) este liniara si continua, unde \( ||f||_{1,2}=|| grad (f)||_{L^2} = \left(\sum ||\frac{\partial f}{\partial x_i}||_{L^2}^2\right)^{1/2} \).
c) Aratati ca exista o unica extensie F a lui T, \( F\in (W_0^{1,2}(\Omega), || \cdot ||_{1,2})^* \).
d) Dati o estimare pentru ||F||.

3. Fie \( \Omega=(0,1), f\in L^2(0,1) \). Consideram problema

(1): -u''+u=f pe \( \Omega \), u(0)=u(1)=0.

a) Sa se degajeze notiunea de solutie slaba pentru problema (1).
b) Sa se arate ca solutia slaba a lui (1) este in \( H_0^1(0,1)\cap H^2(0,1) \), unde\( H^2=W^{2,2} \).
c) Sa se dea o caracterizare a solutiei slabe pentru (1).
d) Sa se afle solutia slaba atunci cand f=0 pentru x<1/2 si f=1 pentru \( x\ge 1/2 \).

4. a) Prin analogie cu modul in care s-a degajat conceptul de solutie slaba pentru problema

\( -\Delta u=f \) in \( \Omega, u=0 \) pe \( \partial\Omega \),

faceti un rationament care sa conduca la definirea solutiei slabe pentru problema

\( \Delta u=f \) in \( \Omega \), \( u=g \) pe \( \partial\Omega \),

unde \( \Omega \) este un deschis marginit din \( R^n \) si \( f\in L^2(\Omega), g\in C(\overline{\Omega})\cap W^{1,2}(\Omega)) \).
b) Demonstrati existenta, unicitatea solutiei slabe astfel definite si formulati (cu justificare) caracterizarea ei variationala.

23.01.2009
Profesor: I. Rosca

1)
a) Sa se arate ca exista \( \alpha,\beta \in \mathbb R \) a.i. u verifica ecuatia

\( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+a\frac{\partial u}{\partial t}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu=0 \) cu \( a,b,c \in \mathbb R \), atunci functia \( v:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \) definita prin \( v(\epsilon,\eta)=u(\epsilon+\eta,\epsilon-\eta)e^{\alpha\epsilon+\beta\eta} \) verifica o ecuatie de forma

\( \frac{\partial^2 v}{\partial \epsilon \partial \eta}+(c-\frac{a^2-b^2}{4})v=0. \)

b) Sa se determine solutia generala a ecuatiei:

\( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+5\frac{\partial u}{\partial t}+3\frac{\partial u}{\partial x}+4u=0. \)

2)
a)Sa se arate ca daca E este solutia fundamentala pentru \( \Delta \) si u este o functie armonica in \( \mathbb R^n \setminus \left\{x_0\right\} \) a.i. \( \lim_{x \to x_0} \frac{u(x)}{E(x-x_0)}=0 \), atunci functia u are limita in \( x_0 \) si functia \( v:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \) definita prin

\( v(x)=\left\{ u(x), x \neq x_0 \\ \lim_{y \to x_0}u(y), x=x_0 \) este armonica.

b) Sa se determine toate functiile armonice si marginite pe \( \mathbb R^n \setminus \left\{x_0\right\}. \)

3)
a) Sa se arate ca daca \( \Omega = \mathbb R^2 \setminus \overline{B(0,R)} \) si f este o functie continua pe \( \partial \Omega \) atunci problema Dirichlet
\( \left\{ \Delta u=0 \ in \ \Omega \\ u=f\ pe\ \partial \Omega \) are o singura solutie marginita si sa se exprime solutia sub forma unei integrale si sub forma sumei unei serii.

b)Sa se calculeze solutia marginita a problemei
\( \left\{\Delta u=0 \ in \ \Omega=\mathbb R^2 \setminus \overline{B(0,1)} \\ u=x{_1}^2-x{_2}^2\ pentru \ x=(x_1,x_2) \in \partial \Omega. \)

4)
a) Sa se arate ca daca g si h sunt functii marginite pe \( \mathbb R^n \) care satisfac relatiile \( \Delta h=\lambda_1 h \ si \ \Delta g=\lambda_2 g \ cu \ \ \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb R, \) iar f este o functie continua si marginita pe (0,T) atunci problema Cauchy
\( \left\{\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=f(t)h(x), x \in \mathbb R^n, t\in (0,T) \\ u(x,0)=g(x), x\in \mathbb R^n \)
are solutie marginita si unica si aceasta solutie se poate reprezenta sub forma
\( u(x,t)=A(t)g(x)+B(t)h(x), x\in \mathbb R^n, t \in (0,T). \)

b) o problema la care se aplica punctul a si se inlocuiau functiile f,g,h.