mateforum.ro

Sa se calculeze:
\( \lim_{n\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin (n^4\cos t)dt \).

Olimpiada locala Bucuresti, 2008

\( n^4 \) este pus doar pentru derutarea "adversarului".
Are loc chiar chiar
\( \lim_{x\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin (x\cos t)dt = 0. \)

După o schimbare de variabilă \( \cos t = u \) se poate aplica Lema Riemann-Lebesgue şi gata!

Problema este însă că după schimbarea de variabilă integrala devine improprie (sau Lebesgue) iar în liceu lema e cunoscută doar pentru integrala Riemann. Se poate ieşi din impas descompunând intervalul în \( [0,a] \) şi \( [a,\pi/2] \) cu \( a \) ales suficient de mic ...
Pe al doilea interval se poate utiliza lema lui Riemann sau se integrează prin părţi.

***

bae wrote:

aleph wrote:...iar în liceu lema e cunoscută doar pentru integrala Riemann.

Puteti sa-mi spuneti si mie atunci forma in care este cunoscuta aceasta lema la nivel de liceu, ca tot nu am inteles?

Sub forma asta:

Lema (Riemann-Lebesgue)
Fie \( f:[a,b]\to\mathb{R} \) o functie integrabila. Atunci avem:

\( \lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos nxdx=0 \).

Lema R-L în cazul particular care interesează:

Dacă \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) este continuă atunci
\( \lim_{x \to \infty} \int_a^b f(t) sin(xt) dt = 0 \).

Demonstraţia e simplă în acest caz: integrare prin părţi dupa cum urmeaza:

Cazul 1. \( f \) are derivată continuă.
(de fapt acesta este cazul care e necesar în problemă, şi la el m-am gândit când am făcut observaţia cu integrarea prin părţi).

\( \int_a^b f(t) \sin(xt) dt = \frac{1}{x} \( \int_a^b f^\prime(t) \cos(xt) dt
+ f(a)\cos(ax) - f(b)\cos(bx) \) \)
iar paranteza este mărginită ca funcţie de \( x \).


Cazul 2. \( f \) este continuă. Se aproximează (uniform) cu un polinom (sau cu o funcţie scară) şi se aplică apoi cazul 1.