Determinare de numere strict pozitive

[Tudorel Lupu]

Sa se determine numerele strict pozitive \( a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \) pentru care este adevarata egalitatea:

\( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}=\frac{2n+1}{3}(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}), \forall n\in\mathbb{N}^{*} \).


Gazeta Matematica, Olimpiada locala Constanta, 2008

[mihai++]

Pentru \( n=1 \) obtinem \( a_{1}=1 \), iar pentru \( n=2 \) obtinem \( a_{2}=2 \) asadar presupunem \( a_{i}=i \quad1\leq i \leq n \) si incercam sa demonstram inductiv ca \( a_{n+1}=n+1 \) ceea ce rezulta dupa cateva calcule.