mateforum.ro

Sa se determine numerele naturale \( n \ge 2 \) cu proprietatea ca in inelul \( (Z_{n},+,\cdot) \) exact un element nu se poate scrie ca suma de doua patrate.

Fie \( (A,+,\cdot) \) un inel comutativ finit. Notam cu \( d \) numarul divizorilor lui zero iar cu \( n \) numarul elementelor nilpotente ale inelului. Sa se arate ca:
a) daca \( x \) si \( y \) sunt nilpotente, atunci \( x+y \)si \( xy \) sunt nilpotente.
b)\( n \) divide \( d \).

Sa se determine toate functiile \( f:[0,1] \rightarrow [0,1] \) continue si bijective cu proprietatea ca \( \int_0^1 g(f(x))dx=\int_0^1 g(x)dx \) pentru orice functie continua \( g:[0,1] \rightarrow R \).

Fie functia \( f:[0,1]\rightarrow R \) derivabila cu derivata continua astfel incat \( \int_0^1(f^{\prime}(x))^{2}dx \le 2 \int_0^1f(x)dx \). Sa se determine \( f \) stiind ca \( f(1)=-\frac{1}{6} \).

Radu Gologan

Fie \( A \) si \( B \) doua matrice de ordin \( n \) cu proprietatea ca \( A=A^{*} \) si \( B=B^{*} \). Presupunem ca A este pozitiv definita. Sa se arate ca toate valorile proprii ale matricei \( AB \) sunt reale.

Fie ABC un triunghi ascutitunghic cu inaltimile AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime} astfel incat A^{\prime} \in [BC], B^{\prime} \in [AC], C^{\prime} \in [AB] si ortocentrul H . Construim paralelogramele B^{\prime}HA{\prime}A{\prime\prime}, A^{\prime}HC{\prime}B{\prime\prime}, B^{\prime}HC{\prime}...

Fie \( X_{1},X_{2},...,X_{n} \) variabile aleatoare independente cu repartitiile \( P(X_{i}=k)=pq^{k},i=1,2;k=0,1,2,3... \).Sa se arate ca \( P(X_{1}=k/X_{1}+X_{2}=n)= \frac{1}{n+1},k=1,n. \)

Fie \( G \) un grup cu proprietatea ca pentru orice \( x,y \in G \) are loc relatia \( (xy)^n=x^ny^n \). Pentru ce valori ale lui \( n \) grupul este abelian?

Fie \( f:[0,1] \rightarrow R \) o functie integrabila cu proprietatea ca pentru orice \( x \in [0,1) \) avem:

\( \lim_{n\to\infty}{n \cdot \int_{x}^{x+\frac{1}{n}}{f(t)}dt}=0. \)

Demonstrati ca pentru orice \( a,b \in (0,1) \) avem:

\( \int_{a}^{b}{f(t)}dt=0. \)

Cristinel Mortici, SHORTLIST ONM 2008

Incearca Rolle pentru functia \( F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)}dt \cdot e^{-\int_{a}^{x}{f(t)}dt+x} \) .

Stabiliti natura seriei:

\( \sum_{n=1}^{\infty}{\[ {\frac{1 \cdot 3 \cdot ... \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot ... \cdot (2n)}} \]^\alpha},\ \alpha \in R \).

Notam F(x)=\int_x^1f(t){\rm d}t .Avem ca \int_x^1f(t){\rm d}t\geq \frac{1-x^2}{2} \Rightarrow \int_{0}^{1}(F(1)-F(x))dx\geq \int_{0}^{1}\frac{1-x^{2}}{2}dx \Rightarrow F(1)-\int_{0}^{1}(x^{\prime}F(x))dx\geq \frac{1}{3} \Rightarrow \int_{0}^{1}xf(x)dx \geq \frac{1}{3} Din inegalitatea CBS avem : \in...

Fie \( f:[0,\infty) \rightarrow R \) o functie continua cu proprietatea ca \( f(x+1)=f(x),\forall x\geq 0 \). Daca \( g:[0,1] \rightarrow R \) este o functie continua oarecare, atunci aratati ca
\( \lim_{n\to\infty} \int_{0}^{1}g(x)f(nx)dx=( \int_{0}^{1}g(x)dx )( \int_{0}^{1}f(x)dx ) \).

Nu am idee despre ea. Pentru ca se intampla ca anul acesta admiterile la poli si FMI sa coincida, asa ca am fost nevoit sa aleg. Asta este!!!

Am si eu o nelamurire...Exista o neconcordanta intre programa la fizica ce apare pe site UPB http://www.pub.ro/romana/admitere2008/p ... izica.html si programa care apare pe site ul fac de automatica si calculatoare http://acs.pub.ro/doc/admitere/fizica.htm .Care este cea buna???

Fie \( A \in M_{n}(\mathbb{C}) \). Aratati ca are loc inegalitatea: \( \sum_{i=1}^n{|\lambda_{i}|^{2}} \leq \sum_{i,j=1}^n{|a_{ij}|^{2}} \), unde \( \lambda_{i} \) sunt valorile proprii ale matricei \( A \) iar \( a_{ij} \) elementele matricei \( A \).

Pai a jignit pe cineva in vreun fel ?