mateforum.ro

O solutie simpla, auzita de la un coleg: Fie P=a_0 + \dots +a_{n}x^n . Daca a_0=0 atunci este evident, iar daca nu este 0, atunci fie p_1 \dots {p_k} toate numerele prime ce divid cel putin unul din P(1),\ P(2),\ \dots . Dar P(a_0p_1\dots p_k)=a_0(1+up_ 1\dots p_k) deci P(a_0p_1\dots p_k) are un fac...

O solutie care foloseste simbolul lui Legendre. Fie a=2^l {p_1}\dots {p_k} unde p_i sunt numere prime impare nu neaparat distincte. Exista o infinitate de numere prime de forma p=n \cdot 8{p_1}\dots {p_k} +1 (moderator edit: citeaza-ti "sursele" , te rog - Teorema lui Dirichlet!) Pentru un...

Fie f:[0,1]\to\mathbb{R} o functie crescatoare, derivabila si cu derivata marginita. Sa se arate ca oricare ar fi r>1 si s\in(0,r-1) avem \lim_{x\to\infty}x^s\int_0^1e^{-x^rf(t)}dt=0 . Concurs Gr. Moisil 2006 Daca f(x)=0, \forall x\in[0,1] atunci e^{-x^rf(t)}=1, \forall t\in[0,1] , deci \lim_{x\to\...

Stie cineva daca afirmatia de mai jos e adevarata (si cunoscuta)?

"Pentru orice \( x\in N \) exista o infinitate de numere prime p astfel incat x este rest patratic modulo p."

Am folosit aceasta afirmatie in solutia din concurs si nu am primit puncte pe ea.

Concluzia ramane adevarata pt orice functie continua, nu neaparat crescatoare. Aceasta problema mai generala a fost data la OJM 2004. Aceasta e solutia din barem: Derivand relatia rezulta f(x)=af(ax)+bf(bx),\ \forall x \in[0,\infty) . Fie n>0 si M=\sup{|f(x)|,\ x\in[0,n]} . Avem |f(x)|\leq(a+b)M,\ \...

Daca functia f:[0,1]\to\mathbb{R} este continua, sa se arate ca \int_0^1f^{2}(x^{2})dx\geq\frac{3}{4}\left(\int_0^1f(x)dx\right)^{2} . Laurentiu Panaitopol, Olimpiada Judeteana Giurgiu, 1991 Din inegalitatea Cauchy avem \int_0^1f^{2}(x^{2})dx\int_0^1(2x)^2dx\geq\left(\int_0^1f(x^2)2xdx\right)^{2} ....

Fie P un polinom cu coeficienti intregi, de grad \( n\geq1 \). Sa se arate ca multimea numerelor prime care divid cel putin unul din numerele \( P(1),\ P(2),\ \dots \) este infinita.

Concursul “Grigore Moisil” 2008, Problema 4

Fie \( f: [0,\infty) \to \mathbb{R} \) o functie derivabila, convexa cu \( f(0)=0 \).

a) Sa se arate ca \( \int_{0}^{x}f(t)dt \leq f^{\prime}(x)x^2/2, \forall x \in [0,\infty) \)
b) Sa se determine toate functiile pentru care avem egalitate.

Concursul "Grigore Moisil" 2008, Problema 3

Fie \( n \in \mathbb{N},\ n>0 \) si \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \) o functie continua cu proprietatea \( \int_0^1(1-x^n)f(x)dx=0 \). Sa se arate ca \( \int_0^1f^2(x)dx\geq 2(n+1)( \int_0^1f(x)dx)^2 \).

Concursul “Grigore Moisil” 2008, Problema 2

<r>Sa se determine functiile derivabile <TEX><s>[tex]</s> f: R \to (-\infty,1) <e>[/tex]</e></TEX> cu proprietatea <TEX><s>[tex]</s> f(1)=-1<e>[/tex]</e></TEX> si <TEX><s>[tex]</s> f(x+y)=f(x)+f(y)-f(x)f(y), \forall x,y \in R<e>[/tex]</e></TEX> .<br/> <br/> <I><s>[i]</s>Concursul "Grigore Moisil" 20...