Teorema lui Morera

[Cezar Lupu]

Daca \( f \) este o functie complexa continua pe un deschis \( G \) astfel incat \( \int_{\partial T}f=0 \) pentru orice triunghi \( T \) inclus in \( G \), atunci \( f \) este olomorfa pe \( G \).

[Beniamin Bogosel]

Compunem doua drumuri triunghiulare pentru a obtine un dreptunghi. Prin urmare integrala pe orice dreptunghi este 0.
Fie \( w \in G \) si consideram un disc \( D=D(w,r) \subset G,\ r>0 \), care exista, pentru ca \( G \) este deschis. Pentru \( z \in D \) consideram drumul \( \gamma_z \) care uneste \( w \) si \( z \), si care merge paralel cu axa reala pana intalneste partea reala a lui \( z \) si apoi merge paralel cu axa imaginara pana intalneste pe \( z \). Notam \( F(z)=\int_{\gamma_z}f(u)du \) si demonstram ca aceasta este o primitiva pentru \( f \). Pentru \( u,v \in \mathbb{C} \) notam \( \overline{uv} \) drumul liniar care uneste \( u,v \) pornind din \( u \).

Atunci pentru \( t \in \mathbb{R} \) consideram \( \frac{F(z+t)-F(z)}{t}=...= \ \ \ \frac{1}{t}\int_{\overline{zz+t}}f(u)du=\int_0^1 f(z+st)\cdot t dt=\int_0^1 f(z+st) ds \to f(z) \) cand \( t \to 0 \). Deci \( \exists \frac{\partial F}{\partial x}(z)=f(z) \) continua. Analog \( \exists \frac{\partial F}{\partial y}(z)=if(z) \) continua. Derivatele partiale exista si sunt continue si satisfac conditiile Cauchy-Riemann, deci \( F \) e olomorfa pe \( D \) si \( F^\prime ={\partial F}{\partial x}(z)=f(z) \forall z \in D \). Deci \( f \) e local primitivabila, adica si olomorfa.