Functie cu derivata de ordin n nula

[Bogdan Cebere]

Fie \( f : R \to R \) de n ori derivabila cu proprietatea: \( f(x) f^{(n)}(x)=0 \), \( \forall x \in R \).
Aratati ca \( f^{(n)}(x)=0 \).

[Beniamin Bogosel]

Fie \( A=\{x \in \mathbb{R} : f^{(n)}(x)\neq 0\} \). Din ipoteza rezulta ca \( f \) se anuleaza pe \( A \). Presupunem ca \( A \) e nevida si incercam sa ajungem la o contradictie, astfel dovedind concluzia.

Fie \( x_0 \in A \). Atunci daca exista \( \varepsilon > 0 \) astfel incat \( (x_0-\varepsilon, x_0 +\varepsilon) \cap A =\{x_0\} \) atunci \( f^{(n)} \) se anuleaza pe \( (x_0-\varepsilon,x_0) \cup (x_0,x_0+\varepsilon) \) (1). Atunci, deoarece \( f \) este dezvoltabila in serie Taylor in jurul lui \( x_0 \), avem \( f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}(x-x_0)^kf^{(k)}(x_0)+\frac{(x-x_0)^{n-1}}{n!}f^{(n)}(c) \), pentru un \( c \) intre \( x_0 \) si \( x \) care este de fapt un polinom de gradul \( n-1 \) pe vecinatatea \( (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) \), pentru ca restul \( \frac{(x-x_0)^{n-1}}{n!}f^{(n)}(c) \) se anuleaza din (1). Deci derivata de ordin \( n \) in \( x_0 \) este 0 ceea ce contrazice \( x_0 \in A \). Deci nu putem gasi \( \varepsilon \) cu proprietatea data. Astfel \( A \) nu contine puncte izolate.

Daca \( A \) ar contine un interval \( [\alpha, \beta] \) atunci \( f \) ar fi constanta 0 pe acest interval ceea ce ar aduce dupa sine si faptul ca derivata de ordin \( n \) este nula pe interiorul acestui interval. Contradictie cu definitia lui \( A \). Deci \( A \) este total disconexa.

Definim pentru \( a \in A,\ D_a=\{x \in A\ : \textrm{ nu exista }(\alpha,\beta) \subset [a,x]\cup [x,a]\} \). (notatia \( [a,x]\cup [x,a] \) inseamna intre \( x \) si \( a \); multimile \( D_a \) sunt un fel de componente aproape conexe ale lui \( A \)). Din faptul ca \( A \) nu are puncte izolate fiecare \( D_a \) e nevida. Se observa din definitia acestor multimi ca ele determina o partitie pe \( A \). Mai mult, fiecare componenta \( D_a \) e total disconexa.

Atunci \( \forall t_1<t_2 \in D_a \Rightarrow \exists t_3 \in D_a,\ t_3 \in (t_1,t_2) \). Deci \( D_a \) e densa in \( [\inf_{x \in D_a}x,\ \ \sup_{x \in D_a}x] \). Deoarece functia se anuleaza pe \( D_a\subset A \) si este continua, din densitatea lui \( D_a \) si din faptul ca \( D_a \) e total disconexa rezulta ca \( f \) se anuleaza pe \( [\inf_{x \in D_a}x,\ \ \sup_{x \in D_a}x] \). Adica si derivata de ordinul \( n \) se anuleaza pe interiorul acestui interval care contine si puncte din \( D_a \subset A \). Contradictie. Deci \( A=\emptyset \). GATA